Module de continuité

Formulaire de report

Problème d'affichage Contenu de la note peu pertinent

• \(f:X\to Y\) est continue en \(x\in X\) \(\iff\) il existe un module de continuité \(\omega_x\) tq $$\forall x^\prime\in X,\quad d_Y(f(x),f(x^\prime))\leqslant\omega_x(d_X(x,x^\prime))$$
• à partir d'un module de continuité \(\omega\) à valeurs bornées sur tout compact, on peut construire un module de continuité \(\tilde \omega\) qui est \(\mathcal C^\infty\), croissant, borné sur tout compact et tq \(\tilde\omega\geqslant\omega\)
    
• si \(\omega\) est sous-linéaire, alors on peut avoir \(\tilde\omega\) sous-additif
        
• en particulier, \(\tilde\omega\circ d\) est une Distance (car satisfait l'inégalité triangulaire)

Questions de cours

Montrer qu'à partir d'un module de continuité \(\omega\)
À valeurs bornées sur tout compact, on peut construire un module de continuité \(\tilde \omega\) qui est \(\mathcal C^\infty\), croissant, borné sur tout compact et tq \(\tilde\omega\geqslant\omega\)

On passe d'abord par le \(\sup\) pour avoir le caractère borné et la domination.

On intègre ensuite avec une fonction test de masse \(1\) de manière à garder ces propriétés et à gagner le caractère \(\mathcal C^\infty\).

On sait qu'à partir d'un module de continuité \(\omega\) à valeurs bornées sur tout compact, on peut construire un module de continuité \(\tilde \omega\) qui est \(\mathcal C^\infty\), croissant, borné sur tout compact et tq \(\tilde\omega\geqslant\omega\).
Montrer que si \(\omega\) est sous-linéaire, alors on peut avoir \(\tilde\omega\) sous-additif.

Il suffit d'appliquer la construction précédente à une version modifiée du module de continuité avec \(\sup_{t\geqslant\cdot}\omega(t)\frac{\cdot}{t}\).

Démontrer l'équivalence : $$\begin{align}&\forall\varepsilon\gt 0,\exists\delta\gt 0,\forall x^\prime\in X,\quad d_X(x,x^\prime)\leqslant\delta\implies d_Y(f(x),f(x^\prime))\leqslant\varepsilon\\ \iff&\exists\omega_x:{\Bbb R}_+\to[0,+\infty]\text{ mod. De cont.},\forall x^\prime\in X,d_Y(f(x),f(x^\prime))\leqslant\omega_x(d_X(x,x^\prime))\end{align}$$

\(\impliedby\) : On utilise le fait que le module de continuité tende vers \(0\) en \(0\).

On construit \(\omega_x\) de manière à avoir "\(\varepsilon=\omega_x(\delta)\)".